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テイラー級数とは、すべての関数を x^n の多項式で近似する方法です。

x=a の近傍では、f(x)は以下のように近似できます。

f(x) = Σ f[n](a)*(x-a)^n,    n=1,2,3…

表示が分かりにくいのですが、f[n](x) とはf(x)をn回微分したもの、(x-a)^nは x-a のn乗という意味です。

注意すべき点は、x=aの近傍での近似で、全区間での近似ではない点です。

 

フーリエ級数とは、すべての関数を sin nx と cos nx で近似する方法です。

周期2πの関数は以下のように級数表示(an, bn, c)できます。

f(x) = c + Σ ∫ (an*cos nx + bn*sin nx) + ε       n=1,2,3…

 c=1/2π*∫ f(x) dx  積分区間[-π, π]

 an = 1/π*∫ f(x)*cos nx dx  積分区間[-π, π]

 bn = 1/π*∫ f(x)*sin nx dx  積分区間[-π, π]

周期は2のとき、lのときと拡張・一般化可能で、さらに複素数表示を用いると、以下のように表現できます。

f(x) = Σ cn*e(inπx/l)

  cn = 1/2l * ∫ f(x)*e(-inπx) dx  積分区間[-l, l]

(詳しい過程・証明は長くなるので省略します)

これを応用したのがフーリエ変換ですが、詳しくはこちらをご参照ください。