ラプラス変換： F(t)＝∫f(x)e(-tx)dx 積分区間[0,∞]
フーリエ変換： F(t)＝∫f(x)e(-itx)dx 積分区間[-∞,∞]
※e(-tx)はネイピア数eの-tx乗、e(-itx)はeの-itx乗という意味です。iは虚数です。
「変換」とは原関数f(x)から像関数(t)を作りだすという意味になります。
ℒ：f(x)→F(t)、ℱ：f(x)→F(t) と表現することもあります。
ラプラス変換、フーリエ変換の式はよく似ていますが、以下二点で異なります。
・原関数にラプラス変換はe(-tx)、フーリエ変換はe(-itx)を掛ける。
・積分区間はラプラス変換で[0,∞]、フーリエ変換で[-∞,∞]
なんでこんなことをやるかというと、複雑な関数を簡単に表現することができるからです。
例えば f(x)=sinxのラプラス変換は F(t)=1/(1+t^2)、f(x)=e(-x)のフーリエ変換はF(t)=2/(1+t^2)です。
かえって複雑な関数になる場合もありますが、そのときは逆ラプラス変換ℒ-1：F(t)→f(x)、逆フーリエ変換ℱ-1：F(t)→f(x)とし、逆方向に考えれば簡単になります。
微分方程式など、複雑な計算は、フーリエ変換・ラプラス変換を利用して解けるケースが多数あります。
計算を簡単にするために用いられるという点では、対数変換も共通点があります。
z=a*x^3*y^4 も対数変換すると、log z = a + 3 log x + 4 log y となり、一次式にできます。
