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ラプラス変換: F(t)=∫f(x)e(-tx)dx   積分区間[0,∞]

フーリエ変換: F(t)=∫f(x)e(-itx)dx   積分区間[-∞,∞]

※e(-tx)はネイピア数eの-tx乗、e(-itx)はeの-itx乗という意味です。iは虚数です。

 

「変換」とは原関数f(x)から像関数(t)を作りだすという意味になります。

ℒ:f(x)→F(t)、ℱ:f(x)→F(t) と表現することもあります。

 

ラプラス変換、フーリエ変換の式はよく似ていますが、以下二点で異なります。

・原関数にラプラス変換はe(-tx)、フーリエ変換はe(-itx)を掛ける。

・積分区間はラプラス変換で[0,∞]、フーリエ変換で[-∞,∞]

 

なんでこんなことをやるかというと、複雑な関数を簡単に表現することができるからです。

例えば f(x)=sinxのラプラス変換は F(t)=1/(1+t^2)、f(x)=e(-x)のフーリエ変換はF(t)=2/(1+t^2)です。

かえって複雑な関数になる場合もありますが、そのときは逆ラプラス変換ℒ-1:F(t)→f(x)、逆フーリエ変換ℱ-1:F(t)→f(x)とし、逆方向に考えれば簡単になります。

微分方程式など、複雑な計算は、フーリエ変換・ラプラス変換を利用して解けるケースが多数あります。

 

計算を簡単にするために用いられるという点では、対数変換も共通点があります。

z=a*x^3*y^4 も対数変換すると、log z = a + 3 log x + 4 log y となり、一次式にできます。